这是竞赛试题：
设 a1, a2, a3, . . . 是一个无穷项的正整数序列, 且 N 是一个正整数. 已知对任意整数
n > N, an 等于整数 an−1 在 a1, a2, . . . , an−1 中出现的次数.
证明: 序列 a1, a3, a5, . . . 与序列 a2, a4, a6, . . . 两者至少有一个是最终周期的.
(一个无穷项的序列 b1, b2, b3, . . . 称为最终周期的, 如果存在正整数 p 和 M 使得 bm+p = bm 对所有
整数 m ⩾ M 均成立.)

我已经写好了以下工具：

### `generate_sequence` 函数头和注释

```python
def generate_sequence(initial_terms, num_terms):
    """
    根据给定的初始项和总项数，生成序列 (a1, a2, ... , an).

    参数:
    initial_terms (List[int]): 初始项列表，例如 [a1, a2, ..., aN]
    num_terms (int): 需要生成的总项数

    返回:
    List[int]: 生成的完整序列列表
    """
```

### `split_sequence` 函数头和注释

```python
def split_sequence(sequence):
    """
    将输入的完整序列拆分成奇数项和偶数项两个子序列。

    参数:
    sequence (List[int]): 完整的序列列表

    返回:
    Tuple[List[int], List[int]]: 奇数项序列列表和偶数项序列列表
    """
```

### `is_periodic` 函数头和注释

```python
def is_periodic(sequence, period, M):
    """
    检查给定序列是否在某个点之后以指定周期重复。

    参数:
    sequence (List[int]): 序列列表
    period (int): 检测周期
    M (int): 初始检查点

    返回:
    bool: 序列从 M 开始是否以 period 为周期重复
    """
```

### `find_period` 函数头和注释

```python
def find_period(sequence, min_repeat_len):
    """
    尝试找到序列中最短的周期及其起始位置和周期内容。

    参数:
    sequence (List[int]): 序列列表
    min_repeat_len (int): 重复周期的最小长度

    返回:
    Tuple[Optional[int], Optional[int], Optional[List[int]]]: 
    周期长度，起始位置，周期内容
    """
```

### `analyze_sequences` 函数头和注释

```python
def analyze_sequences(initial_terms, num_terms, min_repeat_len=None):
    """
    分析生成的序列，返回奇数项或偶数项的最终周期属性及其周期内容。

    参数:
    initial_terms (List[int]): 初始项列表
    num_terms (int): 需要生成的总项数
    min_repeat_len (int, optional): 重复周期的最小长度，默认为 max(3 * len(initial_terms), 10)

    返回:
    Tuple[str, Optional[int], Optional[List[int]]]: 
    序列属性，周期开始位置，周期内容
    """
```


请基于已有的工具，写几个例子
from basic import  analyze_sequences

针对特殊情形 [1], [2], 。。。处理前 k 个的例子，并用表格打印结果

分别打印前几个例子的奇偶序列，不需要用表格，正常打印列表就行了

针对一般情形随机生成一些例子，打印 初始值 | 循环节 用 MARKDOWN 表格 打印

写个函数，输入初始列表，提取循环开始位置后的序列，分离奇偶列，按周期切割成若干列表，并奇偶交错的一行行打印数据

写个函数将序列如下打印：
a1\ta3\t\a5
\ta2\ta4

或者类似 print("    ".join(map(str, odd_sequence))[:40])
    print("  " + "    ".join(map(str, even_sequence))[:40])
但是，处理一下，因为有的字符太长，需要调整

from basic import generate_sequence, split_sequence

def format_sequence(sequence, max_length_per_item):
    """
    Format each element in the sequence to a fixed width. 
    If the element's string representation is longer than the max_length_per_item, truncate it.
    """
    formatted_sequence = []
    for item in sequence:
        str_item = str(item)
        if len(str_item) > max_length_per_item:
            str_item = str_item[:max_length_per_item-1] + '…'  # Truncate and add an ellipsis
        formatted_sequence.append(f"{str_item:<{max_length_per_item}}")
    return formatted_sequence

def print_sequence_special_format(full_sequence, max_length_per_item=4, max_print_width=40):
    # Step 2: Split the sequence into odd and even indexed sequences
    odd_sequence, even_sequence = split_sequence(full_sequence)
    
    # Step 3: Format the sequences
    formatted_odd_sequence = format_sequence(odd_sequence, max_length_per_item)
    formatted_even_sequence = format_sequence(even_sequence, max_length_per_item)
    
    # Step 4: Print the formatted sequences within the width limit
    i = 0
    while i < len(formatted_odd_sequence) or i < len(formatted_even_sequence):
        # Prepare lines
        odd_line = "".join(formatted_odd_sequence[i:i + max_print_width // max_length_per_item])
        even_line = "".join(formatted_even_sequence[i:i + max_print_width // max_length_per_item])
        
        # Print lines
        print(odd_line[:max_print_width])
        print("  " + even_line[:max_print_width])
        
        i += max_print_width // max_length_per_item

加一个控制，至多显示行数，多的省略