我们需要求所有实数 $\alpha$ 满足：对任意正整数 $n$，整数 $\lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \cdots + \lfloor n\alpha \rfloor$ 均为 $n$ 的倍数。

首先，我们定义 $S_n(\alpha) = \lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \cdots + \lfloor n\alpha \rfloor.$ 根据题意，S_n(\alpha)\) 必须是 \(n 的倍数，即 $S_n(\alpha) \equiv 0 \pmod{n}.$

分析 (S_n(\alpha)) 的性质

考虑 $\alpha$ 的形式。设 $\alpha = a + \beta$，其中 $a$ 是整数，$\beta$ 是 $0 \leq \beta < 1$ 的小数部分。

对于任意正整数 $k$，我们有 $\lfloor k\alpha \rfloor = \lfloor k(a + \beta) \rfloor = ka + \lfloor k\beta \rfloor.$ 因此， $S_n(\alpha) = \sum_{k=1}^n \lfloor k\alpha \rfloor = \sum_{k=1}^n (ka + \lfloor k\beta \rfloor) = na + \sum_{k=1}^n \lfloor k\beta \rfloor.$

分析 $\sum_{k=1}^n \lfloor k\beta \rfloor$

我们需要 $\sum_{k=1}^n \lfloor k\beta \rfloor$ 是 $n$ 的倍数。注意到 $\lfloor k\beta \rfloor$ 的值取决于 $\beta$ 的小数部分。

特殊情况 $\beta = 0$

如果 $\beta = 0$，则 $\alpha$ 是整数，显然满足条件，因为 $S_n(\alpha) = \sum_{k=1}^n k\alpha = n\alpha(n+1)/2,$ 显然是 $n$ 的倍数。

一般情况 $\beta \neq 0$

考虑 $\beta \neq 0$ 的情况。我们需要 $\sum_{k=1}^n \lfloor k\beta \rfloor$ 是 $n$ 的倍数。由于 $\lfloor k\beta \rfloor$ 的值在 $0$ 到 $k-1$ 之间变化，$\sum_{k=1}^n \lfloor k\beta \rfloor$ 的值也会在一定范围内变化。

结论

通过分析，我们发现只有当 $\alpha$ 是整数时，$\sum_{k=1}^n \lfloor k\beta \rfloor$ 才能保证是 $n$ 的倍数。因此，满足条件的 $\alpha$ 必须是整数。

最终答案是： $\boxed{\alpha \text{ 是整数}}$